Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸，y軸于點A，B拋物線經過點A，且交x軸于另外一點C，交y軸于點D．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求證：AB⊥BC；

（3）點P為x軸上一點，過點P作x軸的垂線交直線AB于點M，交拋物線于點Q，連結DQ，設點P的橫坐標為m，當以B，D，Q，M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）見解析；（3）m的值是2或1+或1﹣．

【解析】

（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，即可求解，然后把點A的坐標代入拋物線解析式，借助于方程求得a的值即可；

（2）把由函數圖象上點的坐標特征求得點B、C的坐標，然后利用兩點間的距離公式和勾股定理的逆定理證得結論；

（3）以B、D、Q，M為頂點的四邊形是平行四邊形時，利用|MQ|＝BD即可求解．

（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，y＝0，則x＝2，

即：點A坐標為：（4，0）．

代入中，得16a﹣8＝0，得a＝．

∴該拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2．

（2）由（1）知，拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2．

∴當y＝0時，x1＝﹣1，x2＝4，的C（﹣1，0）．

故OC＝1．

于是AB2＝20，BC2＝5，AC2＝25．

從而AB2+BC2＝AC2．

∴AB⊥BC；

（3）由（1）知，拋物線解析式為： ．

當x＝0時，y＝2，得D（0，﹣2），

∴BD＝4．

當MQ＝（﹣m+2）﹣＝﹣m﹣4＝4時，得m＝2或m＝0（舍去）．

當MQ＝（m2﹣m﹣2）﹣（﹣m+2）＝﹣m﹣4＝4時，得m＝1+或m＝1﹣．

綜上所述，m的值是2或1+或1﹣．