Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，BM，DN分別平分∠ABC，∠CDA，沿BP折疊，點A恰好落在BM上的點E處，延長PE交DN于點F沿DQ折疊，點C恰好落在DN上的點G處，延長QG交BM于點H，若四邊形EFGH恰好是正方形，且邊長為1，則矩形ABCD的面積為____．

Answer 1

【答案】8+6.

【解析】

設CQ＝x，由角平分可以證明△BHQ，△NQG，△PDF都是等腰直角三角形；根據折疊的性質可知：AP＝PE，BE＝AB，CD＝DG，GQ＝CQ；根據邊角關系證明△ABP≌△CDQ（ASA）得到AP＝CQ；根據以上證明可以得到邊的關系：HQ＝1+x，HB＝1+x，BQ＝（1+x），BC＝+（1+x），CD＝NC＝x+NQ＝x+x，DG＝x+x＝1+DF＝1+1+x，求出x即可求解；

設CQ＝x，

∵矩形ABCD，BM，DN分別平分∠ABC，∠CDA，

∴∠ABM＝∠MBC＝∠CDN＝∠ADN＝45°，

∴△BHQ，△NQG，△PDF都是等腰直角三角形，

∵沿BP折疊，點A恰好落在BM上的點E處，

∴AP＝PE，BE＝AB，

∵點C恰好落在DN上的點G處，

∴CD＝DG，GQ＝CQ，

△ABP≌△CDQ（ASA），

∴AP＝CQ，

∵正方形EFGH邊長為1，

∴HQ＝1+x，HB＝1+x，

∴BQ＝（1+x），BC＝+（1+x），CD＝NC＝x+NQ＝x+x，

∴DG＝x+x＝1+DF＝1+1+x，

∴x＝，

∴BC＝2+2，CD＝2+，

∴矩形ABCD的面積＝（2+2）（2+）＝8+6，

故答案為8+6.