Question

（2013•保定一模）閱讀：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，連接AE，AC，如圖1
求證：AE=CD，AE⊥CD．
證明：延長CD交AE于K
在△AEB和△CDB中
∵

∠ABE=∠CBD=90° AB=BC BE=DB

∴△AEB≌△CDB（SAS）
∴AE=CD
∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°
∠ADK=∠CDB
∴∠ADK+∠DAK=90°
∴∠ADK=90°
∴AE⊥CD
（2）類比：若關系和位置關系還成立嗎？若成立，請給與證明；若不成立，請說明理由．將（1）中的Rt△DBE繞點逆時針旋轉一個銳角，如圖2所示，問（1）中線段AE，CD間的數量；
（3）拓展：在圖2中，將“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它條件均不變，如圖3所示，問（1）中線段AE，CD間的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，請給與證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（2）根據∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再證出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根據∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KOA+∠AOK=90°，∠AKC=90°，即可證出AE⊥CD；
（3）根據BC=kAB，DB=kEB，得出

BE

AB

=

BD

BC

，根據∠DBE=∠ABC=90°，∠ABE=∠DBC，得出△AEB∽△CDB，

AE

CD

=

AB

BC

=

1

k

，∠EAB=∠DCB，AE=

1

k

CD，再根據k＞1，得出AE≠CD，最后根據∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KAO+∠AOK=90°，∠AKC=90°，即可證出AE⊥CD．

解答：解：（2）AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，

AB=BC ∠ABE=∠DBC BE=BD

∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD；

（3）AE=

1

k

CD，AE⊥CD，
∵BC=kAB，DB=kEB，
∴

AB

BC

=

BE

BD

=

1

k

，
∴

BE

AB

=

BD

BC

，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△AEB∽△CDB，
∴

AE

CD

=

AB

BC

=

1

k

，∠EAB=∠DCB，
∴AE=

1

k

CD，
∵k＞1，
∴AE≠CD，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KAO+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點是相似三角形、全等三角形的判定與性質，關鍵是能在較復雜的圖形中找出相似和全等的三角形．