Question

通過實驗研究，專家們發現：初中學生聽課的注意力指標數是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間的興趣保持平穩狀態，隨后開始分散．學生注意力指標數y隨時間x（分鐘）變化的函數圖象如圖所示（y越大表示注意力越集中）．當0≤x≤10時，圖象是拋物線的一部分，當10≤x≤20和20≤x≤40時，圖象是線段．
（1）當0≤x≤10時，求注意力指標數y與時間x的函數關系式；
（2）一道數學綜合題，需要講解24分鐘．問老師能否經過適當安排，使學生聽這道題時，注意力的指標數都不低于36？

Answer 1

分析：（1）先由圖象上的三點坐標求出拋物線的關系式，再由圖象上的兩點坐標求出一次函數的關系式；
（2）此題綜合考查了二次函數、一次函數解析式的求法及相關知識的應用．

解答：解：（1）設0≤x≤10時的拋物線為y=ax²+bx+c
由圖象知拋物線過（0，20），（5，39），（10，48）三點
∴

c=20 25a+5b+c=39 100a+10b+c=48

解得

a=- 1 5 b= 24 5 c=20

∴y=-

1

5

x²+

24

5

x+20，（0≤x≤10）．

（2）由圖象知，當20≤x≤40時，y=-

7

5

x+76
當0≤x≤10時，令y=36，得36=-

1

5

x²+

24

5

x+20
解得x₁=4，x₂=20（舍去）
當20≤x≤40時，另y=36，得36=-

7

5

x+76
解得x=

200

7

=28

4

7

∵28

4

7

-4=24

4

7

＞24
∴老師可以通過適當的安排，在學生的注意力指標數不低于36時，講授完這道數學綜合題．

點評：此題綜合性強，把二次函數、一次函數有機地與實際問題融合在一起，并與高中的分段函數相聯系，起到承前啟后的作用．