Question

通過實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示（y越大表示學(xué)生注意力越集中）．當(dāng)0≤x≤10時，圖象是拋物線的一部分；當(dāng)10≤x≤20和20≤x≤45時，圖象是線段．
（1）當(dāng)0≤x≤10時，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）一道數(shù)學(xué)競賽題需要講解24分鐘，問老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排使學(xué)生在聽這道題時，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36？

Answer 1

分析：（1）先由圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的關(guān)系式，再由圖象上的兩點(diǎn)坐標(biāo)求出一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）因?yàn)楫?dāng)20≤x≤45時，由（1）可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；再把y=36代入求出滿足題意的x的值即可．

解答：解：（1）設(shè)當(dāng)0≤x≤10時，函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由圖象知拋物線過（0，20），（5，39），（10，48）三點(diǎn)，
∴

c=20 25a+5b+c=39 100a+10b+c=48

，
解得a=-

1

5

，b=

24

5

，c=20，
∴當(dāng)0≤x≤10時，
y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

5

x2+

24

5

x+20（0≤x≤10）；

（2）當(dāng)10≤x≤20時，y=48，
當(dāng)20≤x≤45時，y=-

28

25

x+

352

5

，
令y=36，則由-

1

5

x2+

24

5

x+20=36，
解得x=4或x=20（舍去），
由-

28

25

x+

352

5

=36解得x=30

5

7

，
∴在上課4分鐘后和30

5

7

分鐘前，學(xué)生注意力的指標(biāo)數(shù)都超過36．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此題綜合性強(qiáng)，把二次函數(shù)、一次函數(shù)有機(jī)地與實(shí)際問題融合在一起，并與高中的分段函數(shù)相聯(lián)系，起到承前啟后的作用．