Question

已知關于x的方程x²-2x-2n=0有兩個不相等的實數根．
（1）求n的取值范圍；
（2）若n＜5，且方程的兩個實數根都是整數，求n的值．

Answer 1

分析：（1）關于x的方程x²-2x-2n=0有兩個不相等的實數根，即判別式△=b²-4ac＞0．即可得到關于n的不等式，從而求得n的范圍；
（2）利用配方法解方程，然后根據n的取值范圍和限制條件“方程的兩個實數根都是整數”來求n的值．

解答：解：（1）∵關于x的方程x²-2x-2n=0的二次項系數a=1、一次項系數b=-2、常數項c=-2n，
∴△=b²-4ac=4+8n＞0，
解得n＞-

1

2

；

（2）由原方程，得
（x-1）²=2n+1，
解得x=1±

2n+1

；
∵方程的兩個實數根都是整數，且-

1

2

＜n＜5，

2n+1

不是負數，
∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，
∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，
解得n=0，n=1.5或n=4．

點評：本題考查了一元二次方程的根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．