Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線AB交y軸于A（0，a），交x軸于B（b，0），且a，b滿足（a﹣b）2+|3a+5b﹣88|＝0．

（1）求點A，B的坐標；

（2）如圖1，已知點D（2，5），求點D關于直線AB對稱的點C的坐標．

（3）如圖2，若P是∠OBA的角平分線上的一點，∠APO＝67.5°，求的值．

Answer 1

【答案】（1）A（0，11），B（11，0）；（2）C的坐標為（6，9）；（3）3

【解析】

（1）利用非負數(shù)的性質求出A、B兩點坐標，再利用待定系數(shù)法切線直線AB解析式即可解決問題．

（2）延長FD交AB于點E，連結CE，易得△DEC，△AFE都是等腰直角三角形，再根據(jù)D（2，5），得到DG＝5，進而得到AF＝EF＝6，最后得出C（6，9）；

（3）利用角平分線的性質構造全等三角形，然后通過角度的關系得出邊的關系即可．

解：（1）由題意得，

解得，

∴A（0，11），B（11，0）；

（2）如圖，延長FD交AB于點E，連結CE

因為OB＝OA＝11,

所以三角形OAB是等腰直角三角形,

易得△DEC，△AFE都是等腰直角三角形,

所以FE＝AF＝OA﹣OF＝11﹣5＝6,

∴CE＝DE＝EF﹣FD＝6﹣2＝4,

所以C的橫坐標為6．，縱坐標為5+4＝9,

故C的坐標為（6，9）;

（3）如圖，作PM垂直AB于點M，作PM垂直OB于點L，在L的左側取一點N，使得NL＝AM，

∵PB是∠ABO的平分線，

所以PM＝PL，

∴△AMP≌△NLP，

∴∠NLP＝∠APM，

∴∠APN＝∠MPL.

∵∠ABO＝45°，

∴∠MPL＝135°，

∴∠APN＝135°，

又∠APO＝67.5°，

∴∠NPO＝∠APO＝67.5°.

∵PN＝PA，PO＝PO，

∴△OPN≌OPA，

∴∠PON＝∠POA＝45°，NO＝AO＝11，

設NL＝a，則MA＝a，

∴BL＝BM＝a+11，

∵BL＝22﹣a，

∴22﹣a＝a+11，

∴a＝11﹣，

∴LO＝11﹣（11﹣）＝，

∴PO＝LO＝11，

所以＝3.