Question

【題目】某藥廠銷售部門根據市場調研結果，對該廠生產的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預測，井建立如下模型：設第t個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），P與t之間存在如圖所示的函數關系，其圖象是函數P=（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合；設第t個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關系：Q=

（1）當8＜t≤24時，求P關于t的函數解析式；

（2）設第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w（單位：萬元）

①求w關于t的函數解析式；

②該藥廠銷售部門分析認為，336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續生產和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應的月銷售量P的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】（1）P=t+2；（2）①當0＜t≤8時，w=240；當8＜t≤12時，w=2t2+12t+16；當12＜t≤24時，w=﹣t2+42t+88；②此范圍所對應的月銷售量P的最小值為12噸，最大值為19噸．

【解析】（1）設8＜t≤24時，P=kt+b，將A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；

（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三種情況，根據月毛利潤=月銷量×每噸的毛利潤可得函數解析式；

②求出8＜t≤12和12＜t≤24時，月毛利潤w在滿足336≤w≤513條件下t的取值范圍，再根據一次函數的性質可得P的最大值與最小值，二者綜合可得答案．

（1）設8＜t≤24時，P=kt+b，

將A（8，10）、B（24，26）代入，得：

，

解得：，

∴P=t+2；

（2）①當0＜t≤8時，w=（2t+8）×=240；

當8＜t≤12時，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；

當12＜t≤24時，w=（-t+44）（t+2）=-t2+42t+88；

②當8＜t≤12時，w=2t2+12t+16=2（t+3）2-2，

∴8＜t≤12時，w隨t的增大而增大，

當2（t+3）2-2=336時，解題t=10或t=-16（舍），

當t=12時，w取得最大值，最大值為448，

此時月銷量P=t+2在t=10時取得最小值12，在t=12時取得最大值14；

當12＜t≤24時，w=-t2+42t+88=-（t-21）2+529，

當t=12時，w取得最小值448，

由-（t-21）2+529=513得t=17或t=25，

∴當12＜t≤17時，448＜w≤513，

此時P=t+2的最小值為14，最大值為19；

綜上，此范圍所對應的月銷售量P的最小值為12噸，最大值為19噸．