Question

【題目】如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．

（1）請探究AD與BD之間的位置關系并證明你的結論；

（2）若AC=BC=，DC=CE= ，求線段AD的長；

Answer 1

【答案】（1）AD⊥BD，證明見解析；（2）4．

【解析】

（1）由△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，得∠ABC=∠DEC=∠CDE=45°，∠ACB=∠DCE=90°，進而證△ACD≌△BCE，即可得到結論；

（2）過點C作CF⊥AD于點F，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理，即可求解．

（1）AD⊥BD，理由如下：

∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=∠CDE=45°，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，

又∵AC=BC，CE=CD，

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴∠ADC=∠BEC=45°，

∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，

∴AD⊥BD；

（2）過點C作CF⊥AD于點F，

∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=，

∴DF=CF=1，

∵AC=BC=，

∴AF==3，

∴AD=AF+DF=4．