Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=4，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，點P是AB的延長線上一點，且∠PDB=∠A，連接DE，OE．

（1）求證：PD是⊙O的切線．

（2）填空：①當∠P的度數為______時，四邊形OBDE是菱形；

②當∠BAC=45°時，△CDE的面積為_________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①30；②

【解析】

（1）連接OD，由三角形內角和定理可證∠ODB=90°－∠A，進而可求∠ODB+∠PDB=90°，即∠ODP為直角，從而結論得證；

（2）當四邊形OBDE為菱形時，△OBD為等邊三角形，則∠P為30°；

（3）連接BE，AD，由圓周角定理可證∠ADB=90°，∠AEB=90°，由等腰三角形的性質和三角形的面積公式可知S△DCE=S△BCE，證明△ABE是等腰直角三角形，根據勾股定理求出AE=BE=，然后根據三角形面積公式求解即可．

解：（1）連接OD，

∵OB=OD， ∠PDB=∠A，

∴∠ODB=∠ABD=(180°-∠A)=90°－∠A=90°－∠PDB，

∴∠ODB+∠PDB=90°，

∴∠ODP=90°，

∵OD是⊙O的半徑，

∴PD是⊙O的切線．

（2）①30°，理由如下：

若四邊形OBDE為菱形，則OB=BD=DE=EO=OD，

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠ABD=∠ODB=60°，

∵∠PDO=90°，

∴∠PDB=30°，

∴∠P=30°，

即當∠P為30°時，四邊形OBDE為菱形；

②連接BE，AD，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∠AEB=90°，

∵AB=AC，

∴D為BC中點，

∴S△DCE=S△BCE，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，△ABE是等腰直角三角形，

∵AB=AC=4，

∴AE=BE=，

∴CE=4-，

∴S△DCE=S△BCE，

=×BE·CE

=×××(4-)

=．