Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4cm，C為AB上一動點，過點C的直線交⊙O于D、E兩點，且∠ACD=60°，DF⊥AB于點F，EG⊥AB于點G，當點C在AB上運動時，設AF=xcm，DE=ycm(當x的值為0或3時，y的值為2)，探究函數y隨自變量x的變化而變化的規律．

（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組對應值，如下表：

x/cm	0	0.40	0.55	1.00	1.80	2.29	2.61	3
y/cm	2	3.68	3.84		3.65	3.13	2.70	2

（2）建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；

（3）結合畫出的函數圖象，解決問題：點F與點O重合時，DE長度約為　　　　cm(結果保留一位小數)．

Answer 1

【答案】（1）4.00；（2）答案見解析；（3）3.5．

【解析】

（1）先求出OF＝1，利用勾股定理求出DF，進而求出∠ODF＝30°，進而判斷出DE過點O即可求解；

（2）利用畫函數圖象的方法即可得出結論；

（3）先作出圖形，進而求出OD＝2，利用銳角三角函數求出DM，即可得出DE＝，即可得出結論．

（1）如圖1，(為了說明點C和點O重合，DE沒畫成過點O)

連接OD，當x=1時，AF=1．

∵OA=2，

∴OF=OA﹣AF=1．

∵DF⊥AB，

∴∠DFO=90°，

在Rt△OFD中，OD=2，OF=1，

根據勾股定理得：DF，

∴tan∠ODF，

∴∠ODF=30°，

在Rt△CFD中，∠ACD=60°，

∴∠CDF=30°，

∴∠CDF=∠ODF，

∴DE過點O，

∴DE是⊙O的直徑，

∴DE=2OD=4，

∴y=4．

故答案為：4.00；

（2）描點，連線，得出函數圖象如右圖所示；

（3）如圖2．

∵點F和點O重合，

∴OD=OA=2，

過點O作OM⊥DE于M，

∴DE=2DM．

∵∠ACD=60°，

∴∠ODE=90°﹣∠ACD=30°，

在Rt△OMD中，cos∠ODE，

∴DM=ODcos∠ODE=2×cos30°，

∴DE=2DM=23.5．

故答案為：3.5．