Question

已知：等腰三角形ABC的兩腰AC和BC長為5厘米，底邊AB長為6厘米，如圖，現有一長為1厘米的線段MN在△ABC的底邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點M與點A重合，點N到達點B時運動終止），過點M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為t秒．
（1）t=

2

時，Q點與C重合；此時PM=

8

3

厘米；
（2）線段MN在運動的過程中，t為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；
（3）線段MN在運動的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為t．求P、Q兩點都在AC邊上時四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數關系式；
（4）簡要說明從運動開始到終止四邊形MNQP的面積S是如何變化的．

Answer 1

分析：（1）Q點與C重合時，先由等腰三角形三線合一的性質得出AN=

1

2

AB=3，則AM=AN-MN=2，根據時間=路程÷速度求出t的值；然后在Rt△ACN中，運用勾股定理得到CN=4，再由PM∥CN，
得出△APM∽△ACN，根據相似三角形對應邊的比相等即可求出PM的長；
（2）過點C作CD⊥AB，垂足為D．當PQ∥AB時即可得出四邊形MNQP是矩形，根據特殊角的三角函數值求出四邊形MNQP的面積；
（3）P、Q兩點都在AC邊上時，先利用∠A的正切值表示出PM、QN，然后根據梯形的面積公式列式整理即可得到S與t的函數關系式；
（4）分別求出點P在AC上，點Q在BC上與點P、Q都在BC上時四邊形MNQP的面積，結合（3）得出線段MN在整個運動過程中四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數關系式，根據函數的增減性即可求解．

解答：解：（1）Q點與C重合時，如圖1．
∵AC=BC=5，AB=6，CN⊥AB，
∴AN=BN=

1

2

AB=3，
∵MN=1，
∴AM=AN-MN=3-1=2，
∵MN的運動速度為1厘米/秒，
∴t=2÷1=2（秒）．
在Rt△ACN中，∵∠ANC=90°，
∴CN=

AC2-AN2

=

52-32

=4．
∵PM∥CN，
∴△APM∽△ACN，
∴

PM

CN

=

AM

AN

，即

PM

4

=

2

3

，
∴PM=

8

3

．
故答案為2，

8

3

；

（2）如圖2，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則AD=3，
當MN運動到被CD垂直平分時，四邊形MNQP是矩形，
即當AM=3-

1

2

=

5

2

時，四邊形MNQP是矩形，
∴t=

5

2

秒時，四邊形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan∠A=

5

2

×

4

3

=

10

3

，MN=1，
∴S_{四邊形MNQP}=PM•MN=

10

3

．
故t為

5

2

秒時，四邊形MNQP恰為矩形，此時矩形的面積為

10

3

平方厘米；

（3）如圖3，當0≤t≤2時，點P、Q都在AC上，并且四邊形PMNQ為直角梯形，
在Rt△AMP中，∵AM=t，tan∠A=

PM

AM

=

4

3

，
∴PM=

4

3

AM=

4

3

t，
在Rt△ANQ中，∵AN=AM+MN=t+1，tan∠A=

QN

AN

=

4

3

，
∴QN=

4

3

AN=

4

3

（t+1），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

4

3

t+

4

3

（t+1）]=

4

3

t+

2

3

；


（4）當2＜t≤3時，如圖4，點P在AC上，點Q在BC上，
∵PM=

4

3

t，BN=AB-AM-MN=6-t-1=5-t，
在Rt△BNQ中，
∵QN=

4

3

BN=

4

3

（5-t），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

4

3

t+

4

3

（5-t）]×1=

10

3

；
當3＜t≤5時，點P、Q都在BC上，
∵BM=6-t，BN=5-t，
∴PM=

4

3

BM=

4

3

（6-t），QN=

4

3

BN=

4

3

（5-t），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

4

3

（6-t）+

4

3

（5-t）]=-

4

3

t+

22

3

．
故S=

4 3 t+ 2 3  (0≤t≤2) 10 3  (2＜t≤3) - 4 3 t+ 22 3 (3＜t≤5)

，
即當0≤t≤2時，四邊形MNQP的面積S隨t的增大而增大，當t=2時，達到最大值

10

3

；當2＜t≤3時，四邊形MNQP的面積S=

10

3

；當3＜t≤5時，四邊形MNQP的面積S隨t的增大而減小．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到等腰三角形的性質，勾股定理，矩形的判定，三角函數的定義，四邊形的面積，比較復雜．一般在解決動點問題時，采取數形結合與分類討論的思想．