Question

已知圓P的圓心在反比例函數圖象上，并與x軸相交于A、B兩點． 且始終與y軸相切于定點C(0，1)．

（1）求經過A、B、C三點的二次函數圖象的解析式;
（2）若二次函數圖象的頂點為D，問當k為何值時，四邊形ADBP為菱形．

Answer 1

(1) y=+1－（2）

解：(1)連結PC、PA、PB，過P點作PH⊥x軸，垂足為H． …………………1分

∵⊙P與軸相切于點C (0，1)，
∴PC⊥軸．
∵P點在反比例函數的圖象上，
∴P點坐標為（k，1）． …………………2分
∴PA=PC=k．
在Rt△APH中，AH==，
∴OA=OH—AH=k－．
∴A（k－，0）． …………………………3分
∵由⊙P交x軸于A、B兩點，且PH⊥AB，由垂徑定理可知， PH垂直平分AB．

∴OB=OA+2AH= k－+2=k+，
∴B(k+，0)．    ……………………………………………………………………4分
故過A、B兩點的拋物線的對稱軸為PH所在的直線解析式為x=k．
可設該拋物線解析式為y=a+h． …………………………………………………5分
又拋物線過C(0，1)， B(k+，0)， 得：                 
     
解得a=1，h=1－．       …………………7分
∴拋物線解析式為y=+1－．……8分
（2）由(1)知拋物線頂點D坐標為（k， 1－）
∴DH=－1．
若四邊形ADBP為菱形．則必有PH=DH．………………………………………………10分
∵PH=1，∴－1=1．          
又∵k＞1，∴k=             …………………………………………………………11分
∴當k取時，PD與AB互相垂直平分，則四邊形ADBP為菱形． …………………12分
（1）連接PC，過P點作PH⊥x軸，垂足為H，根據圓的切線性質，可知PC⊥軸，由勾股定理及垂徑定理，C (0，1)可得到A，B即可
（2）根據菱形的對角線互相平分，則有，得到關于的方程即可