Question

【題目】如圖，A（0，8）是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB.設P點的運動時間為t秒.

(1)若AB∥x軸，求t的值；

(2)當t=6時，坐標平面內有一點M（不與A重合），使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請直接寫出點M的坐標；

(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點D，使O、A、B、D為頂點的四邊形面積是104？如果存在，請求出點D的坐標，如果不存在，請說明理由；

(4)設點A關于x軸的對稱點為A，連接A′B，在點P運動的過程中∠OA′B的度數是否會發生變化，若不變，請求出∠OA′B的度數，若改變，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) t的值為秒；(2) 點M的坐標為：（12，﹣8），（8，14），（14，﹣2）；(3) 存在，點D的坐標為：（18，0）或（，0）；(4)∠OA'B=45°，不發生變化；理由見解析.

【解析】

(1)根據是等腰直角三角形以及AB∥軸，求得∠APO為直角，證得也是等腰直角三角形，從求得答案；

(2)分類討論：分別討論當△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB時，點M的坐標的情況；過點M作x軸的垂線、過點B作y軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定和性質求得點M的坐標即可.

(3)分類討論：①D在x軸的正半軸上；②D在x軸的負半軸上，根據面積的和差，列式計算可得答案．

(4)根據已知條件易證△PAO≌△BPC，利用全等三角形的性質結合點A、點B的坐標，可求得點B的坐標，可證得點B在直線上，再根據點A關于x軸的對稱點為（0，-8）也在直線上，從而求得∠OA′B的度數.

(1) ∵是以P為直角頂點的等腰直角三角形，

∴，

∵AB∥軸，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴(秒)，

故t的值為秒；

(2)當t＝6時，M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，

①如下圖，若△ABP≌△MBP，

則AP＝PM，過點M作MD⊥OP于點D，

在△AOP和△MDP中，

，

∴△AOP≌△MDP（AAS），

∴OA＝DM＝8，OP＝PD＝6，

∴M的坐標為：（12，-8）．

②如下圖，若△ABP≌△MPB，則，

過點M作M⊥x軸于點，過點作⊥x軸于點，過點作⊥軸于點，

∵△APB為等腰直角三角形，則△MPB也為等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠3+∠2=180°-90°=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△PAO和△BPE中，

，
∴△PAO≌△BPE（AAS），

∴

∵⊥x軸⊥軸

∴四邊形為矩形，

∴，則

在和中

∠BAF＝45+，∠MPE＝45+，

∴∠BAF＝∠MPE

在和中

∴

∴

∴M的坐標為：（8，14），

③如下圖，若△ABP≌△MPB，則，

過點M作M⊥x軸于點，過點作⊥x軸于點，過點作⊥軸于點，

∵△APB為等腰直角三角形，則△MPB也為等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠3+∠2=180°-90°=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△PAO和△BPE中，

，
∴△PAO≌△BPE（AAS），

∴

∵⊥x軸⊥軸

∴四邊形為矩形，

∴，則

∵⊥軸

∴

∵

∴

在和中

∴

∴

∴M的坐標為：（14，﹣2）．

綜合以上可得點M的坐標為：（12，﹣8），（8，14），（14，﹣2）；

(3) 存在，

①D在x軸的正半軸上，設D（a，0），作BE⊥x軸于E點，如下圖：

∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠3+∠2=180°-90°=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△PAO和△BPE中，

，
∴△PAO≌△BPE（AAS），
∴

∵BE⊥x軸

∴BE∥AO，

∴,

∵四邊形AOBD的面積是104，

∴點D在點的右側，

∴，

∴，

∴點D的坐標為：（18，0）.

②D在x軸的負半軸上，如下圖：

根據上面所求得的數據得：

，

∴，

∴點D的坐標為：（，0）.

綜上：點D的坐標為：（18，0）或（，0）；

(4)∠OA'B=45°，不發生變化；理由如下：

∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠3+∠2=180°-90°=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△PAO和△BPC中，

，
∴△PAO≌△BPC（AAS），
∴AO=PC，BC=PO．
∵點A（0，8），點P（t，0）
∴PC=AO=8，BC=PO=t，CO=PC+PO=8+t
∴點B（8+t，t）；
∴點B在直線上
又∵點A關于x軸的對稱點為（0，-8）也在直線上，
∴∠OA'B=45°．