Question

【題目】如圖①，點O為直線AB上一點，射線OC⊥AB于O點，將一直角三角板的60°角的頂點放在點O處，斜邊OE在射線OB上，直角頂點D在直線AB的下方．

（1）將圖①中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖②，使一邊OE在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線OD是否平分∠AOC？請說明理由；

（2）將圖①中的三角板繞點O按每秒5°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線OD恰好平分∠AOC，則t的值為________；(直接寫出結果)

（3）將圖①中的三角板繞點O順時針旋轉至圖③，使OD在∠AOC的內部，請探究：∠AOE與∠DOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線OD不平分∠AOC，理由見解析；（2）3或39；（3）∠DOC－∠AOE＝30°，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據角平分線的性質得到，∠BOE=45°，于是∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°，進而求出∠COM與∠AOM的值，∠AOM≠∠COM，直線OD不平分∠AOC；

（2）分OD與OD的延長線平分∠AOC兩種情況；

（3）∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°．

試題解析：（1）直線OD不平分∠AOC，理由：因為OE平分∠BOC，所以∠BOE＝45°，∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝60°－45°＝15°，延長DO至M，則∠COM＝180°－90°－15°＝75°，∠AOM＝90°－75°＝15°，即∠AOM≠∠COM；

（2）3或39；

延長DO，

∵∠AOC=90°，

當直線OD恰好平分角∠AOC，

∴∠AOM=∠COM=45°，

即逆時針旋轉15°時DO延長線平分∠AOC，

由題意得，5t=15°

∴t=3，

當DO平分∠AOC，

∴∠DOA=45°

即逆時針旋轉195°時DO平分∠AOC，

∴5t=195°，

∴t=39，

∴t=3或39；

（3）∠DOC-∠AOE=30°，

∵∠DOE=60°，∠AOC=90°，

∴∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，

∴∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°，

所以∠AOE與∠DOC之間的數量關系為：∠DOC-∠AOE=30°．