Question

如圖，在直角坐標系中，一直線l經過點M（

3

，1）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且MA=MB，則△ABO的內切圓⊙O₁的半徑r₁=

 

；若⊙O₂與⊙O₁，l，y軸分別相切，⊙O₃與⊙O₂，l，y軸分別相切，…，按此規律，則
⊙O₂₀₀₈的半徑r₂₀₀₈=

 

．

Answer 1

分析：本題可將三角形ABO分解成三個三角形，再根據三個三角形的面積之和等于△ABO的面積，即可得出半徑的值，再根據題意依次列出⊙O₂，⊙O₃…的半徑大小，找出規律即可．

解答：解：（1）設半徑為R；
∵M是AB的中點，
∴B（0，2），A（2

3

，0），
則S_OO1B=

1

2

×OB×R=R，
S_AO1O=

1

2

×AO×R=

3

R
S_AO1B=

1

2

×AB×R=

1

2

×

22+(2 3 )2

×R=2R
S_AOB=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
∵S_AOB=S_OO1B+S_AO1O+S_AO1B=（3+

3

）R=2

3

，
∴R=

2 3

3+ 3

=

3

-1；

（2）根據題意得：R₁=

3

-1，R₂=

3 -1

3

，R₃=

3 -1

32

…
∴Rn=

3 -1

3n-1

，
依此類推可得：R₂₀₀₈=

3 -1

32007

．

點評：本題考查的是三角形的性質，解此類題目時要根據題意列出不等式，適當地對圖形進行分解，然后再解題．