Question

【題目】如圖，一個正比例函數y1=k1x的圖象與一個一次函數y2=k2x+b的圖象相交于點A（3，4），且一次函數y2的圖像與y軸相交于點B（0，—5），與x軸交于點C．

（1）判斷△AOB的形狀并說明理由；

（2）若將直線AB繞點A旋轉，使△AOC的面積為8，求旋轉后直線AB的函數解析式；

（3）在x軸上求一點P使△POA為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）△AOB是等腰三角形；理由見解析；

（2）或y=-4x+16；

（3）（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據A的坐標求得OA和OB的長度即可判斷；

（2）首先根據三角形的面積公式求得OC的長，即可得到C的坐標，利用待定系數法即可求解；

（3）已知等腰三角形POA中的一邊OA，分：1）OA是底邊；2）OA是腰，且A是頂角的頂點；3）OA是腰，且O是頂角的頂點．三種情況進行討論．

試題解析：（1）OA=，則OA=OB，

∴△AOB是等腰三角形；

（2）設OC=x，則x×4=8，解得：x=4，

則C的坐標是：（-4，0）或（4，0）．

設直線AB的解析式是：y=kx+b，當C的坐標是：（-4，0）時，根據題意得：

，

解得：，

則直線的解析式是：；

當C的坐標是（4，0）時，根據題意得：

，

解得：，

則直線的解析式是：y=-4x+16；

（3）把（3，4）代入y1=k1x得到：3k1=4，

解得：k1=，

當OA是底邊時，OA的中點是（，2），設過OA的中點且與OA垂直的直線的解析式是：y=-x+b，

根據題意得：b=，

直線的解析式是：y=-x+，

當y=0時，x=，

則P的坐標是（，0）；

當OA是腰，O是頂角的頂點時，OP=OA=5，則P的坐標是（5，0）或（-5，0）；

當OA是腰，A是頂角的頂點時，AP=AO，則P與O關于x=3對稱，則P的坐標是（6，0）．

則P的坐標是：（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．