Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．設CE=a，CF=b．

（1）如圖1，當∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；
（2）當△AEF是直角三角形時，求a、b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCF=∠DCE=90°

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被對角線AC平分，

∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中， ，

∴△ACF≌△ACE，

∴CF=CE，

∵CE=a，CF=b，

∴a=b，

∵△ACF≌△ACE，

∴∠AEF=∠AFE，

∵∠EAF=45°，

∴∠AEF=∠AFE=67.5°，

∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，

∵∠CAF=∠CAE=22.5°，

∴∠CAE=∠CEA，

∴CE=AC=4 ，即：a=b=4

（2）

解：當△AEF是直角三角形時，

①如圖所示：

∵∠AFE=90°，

∴∠AFD+∠CFE=90°，

∵∠CEF+∠CFE=90°，

∴∠AFD=∠CEF

∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，

∴∠AEF=45°=∠EAF∴AF=EF，

在△ADF和△FCE中 ，

∴△ADF≌△FCE，

∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，

∴a=8，b=4．

②當∠AEF=90°時，同①的方法得，CF=4，CE=8，

∴a=4，b=8

【解析】（1）先證明△ACF≌△ACE，從而得到CF=CE，然后再證明△ACE為等腰三角形，則CE=AC=4 ；（2）當∠AFE=90°，可證明△ADF≌△FCE，則FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，從而可求得a、b的值，同理當∠AEF=90°時，也可求得a、b的值．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和旋轉的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．