Question

如圖，已知正方形ABCD．
（1）請用直尺和圓規，作出正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45°后得到的正方形AB′C′D′（其中B′，C′，D′分別是點B，C，D的像）（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）；
（2）設CD與B′C′相交于O點，求證：OD=OB′；
（3）若正方形的邊長為，求兩個正方形的重疊部分（四邊形AB′OD）的面積．

Answer 1

解：（1）                              
（2）連結B′D．
∵正方形AB′C′D′由正方形ABCD旋轉得到，∴AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，
∴∠ADB′=∠AB′D，∴∠ODB′=∠OB′D，∴OD=OB′．
（3）連結AC．∵正方形ABCD，∴∠CAB=45°．
由題意知∠BAB′=45°，∴∠CAB=∠BAB′，
即B′在AC上，∴△OB′C是等腰直角三角形．
設OD=OB′=x，則OC=．
∵CD=，∴，∴x=1．
∴S_{四邊形AB′OD}=S_△ACD-S_△B′CO=．                    

（1）利用旋轉的特征即可作出圖形；
（2）根據旋轉的特征，可得AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，根據等邊對等角得到∠ADB′=∠AB′D，所以∠ODB′=∠OB′D，再由等角對等邊得到OD=OB′．
（3）先說明△OB′C是等腰直角三角形，再根據勾股定理可以求得OB′的長，
所以S_{四邊形AB′OD}=S_△ACD-S_△B′CO=