Question

【題目】已知⊙O中，AC為直徑，MA、MB分別切⊙O于點A、B．
（1）如圖①，若∠BAC=23°，求∠AMB的大小；
（2）如圖②，過點B作BD∥MA，交AC于點E，交⊙O于點D，若BD=MA，求∠AMB的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）連接OB，

∵MA、MB分別切⊙O于A、B，

∴∠OBM=∠OAM=90°，

∵弧BC對的圓周角是∠BAC，圓心角是∠BOC，∠BAC=23°，

∴∠BOC=2∠BAC=46°，

∴∠BOA=180°﹣46°=134°，

∴∠AMB=360°﹣90°﹣90°﹣134°=46°．

（2）連接AD，AB，

∵BD∥AM，DB=AM，

∴四邊形BMAD是平行四邊形，

∴BM=AD，

∵MA切⊙O于A，

∴AC⊥AM，

∵BD∥AM，

∴BD⊥AC，

∵AC過O，

∴BE=DE，

∴AB=AD=BM，

∵MA、MB分別切⊙O于A、B，

∴MA=MB，

∴BM=MA=AB，

∴△BMA是等邊三角形，

∴∠AMB=60°

【解析】（1）根據切線性質求出∠OBM=∠OAM=90°，根據圓周角定理求出∠COB，求出∠BOA，即可求出答案；（2）連接AB、AD，得出平行四邊形，推出MB=AD，推出AB=AD，求出等邊三角形AMB，即可得出答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)．