Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求AD的長；
（2）設CP=x，問當x為何值時△PDQ的面積達到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M，并求出BM的長；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建直角三角形來求解：過A作AE⊥CD，垂足為E．那么可在直角三角形AED中根據兩底的差和∠D的度數來求出AD的長．
（也可通過作輔助線將梯形分成平行四邊形和等邊三角形兩部分來求解．）
（2）可通過求△PDQ的面積與x的函數關系式來得出△PDQ的最大值．由于P、Q速度相同，因此CP=QD=x，那么可用x表示出PD，而△PQD中，PD邊上的高=QD•sin60°，由此可根據三角形的面積公式求出S_△PQD與x之間的函數關系式，可根據函數的性質求出S的最大值以及對應的x的值．
（3）假設存在這樣的M點，那么DM就是PQ的垂直平分線，可得出QD=PD、PM=AM，然后證PM=PD即可．根據（2）中得出PD、DQ的表達式，可求出x=，即P是CD的中點，不難得出△QPD為等邊三角形，因此∠QPD=∠C=60°，因此PQ∥CM，即∠DMC=90°，在直角三角形DMC中，P為斜邊CD的中點，因此PM=PD，即可得出四邊形PDQM是菱形．那么此時根據BM=BC-CM可求出BM的長．
解答：解：（1）解法一：如圖1
過A作AE⊥CD，垂足為E．
依題意，DE==．
在Rt△ADE中，AD==．

解法二：如圖2
過點A作AE∥BC交CD于點E，則CE=AB=4．
∠AED=∠C=60度．
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等邊三角形．
∴AD=DE=9-4=5．

（2）如圖1
∵CP=x，h為PD邊上的高，依題意，
△PDQ的面積S可表示為：
S=PD•h=（9-x）•x•sin60°
=（9x-x²）=-（x-）²+．
由題意知0≤x≤5．
當x=時（滿足0≤x≤5），S_最大值=．

（3）如圖4
存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ．
于是9-x=x，x=．
此時，點P、Q的位置如圖4所示，△PDQ恰為等邊三角形．
過點D作DO⊥PQ于點O，延長DO交BC于點M，連接PM、QM，則DM垂直平分PQ，
∴MP=MQ．
易知∠1=∠C．
∴PQ∥BC．
又∵DO⊥PQ，
∴MC⊥MD
∴MP=CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四邊形PDQM是菱形
所以存在滿足條件的點M，且BM=BC-MC=5-=．
點評：本題是一道壓軸題，也是一道開放探索題，第（2）問是條件開放，第（3）問是結論開放．本題既考查了學生的分析作圖能力，又考查學生綜合運用平行線、等腰梯形、等邊三角形、菱形、二次函數等知識．這里設計了一個開放的、動態的數學情境，為學生靈活運用基礎知識、分析問題、解決問題留下了廣闊的探索、創新的思維空間．