Question

21、如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．以OC為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．
（1）當a=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（2）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）首先根據已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質可以求出∠ADO的度數，由此即可判定△AOD的形狀；
（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質即可求解．

解答：解：（1）∵△OCD是等邊三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，
∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠AOD，
而∠BOC=a=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°-60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；

（2）①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴190°-α=50°，
∴α=140°．
所以當α為110°、125°、140°時，三角形AOD是等腰三角形．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質與判定，以及等腰三角形的性質和旋轉的性質等知識，根據旋轉前后圖形不變是解決問題的關鍵．