Question

（2011•峨山縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點M在X軸上，⊙M與Y軸相切于O點，過點A（2，0）作⊙M的切線，切點為B點，已知：．
（1）求⊙M的半徑r；
（2）求點B的坐標；
（3）若拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B、M三點，求此拋物線的解析式；
（4）在y軸上是否存在點C，使△ABC為直角三角形？若存在，請求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可連接BM，根據sin∠A的正弦值，可得出BM：AM=1：2，也就是AM=2BM=OM+OA=BM+OA，因此BM=OA，即可求出r的值．
（2）可過B作BN⊥AM于N，那么ON就是B的橫坐標的絕對值，BN就是B的縱坐標．在直角三角形BMN中，已求的了半徑的長，又可求得∠BMA=60°，即可求出BN，MN的長，也就求出了ON的長，進而可得出B點的坐標．
（3）已經求的了A，B，M的坐標，可用待定系數法求二次函數的解析式（可用交點式的二次函數通式來設二次函數）
（4）要分三種情況進行討論：
①當∠ABC=90°時，那么C點就在BM所在直線上，可在直角三角形MOC中，根據OM和∠CMO的度數求出OC的長，即可得出C的坐標．
②當∠BAC=90°時，那么∠OAC=60°，在直角三角形OAC中可根據OA的長求出OC的長，也就得出了C點的坐標
③當∠BCA=90°時，那么AB是斜邊，可設出C的坐標，然后用坐標系中兩點的距離公式分別表示出AC²，BC²，AB²，然后根據勾股定理即可求出C的坐標．
解答：解：（1）連接BM，則∠MBA=90°．
直角三角形MBA中，sin∠A==，BM=r，MA=OM+AO=r+2．
因此=，r=2．

（2）過B作BN⊥AM于N，
∵sin∠A=30°
∴∠A=∠MBN=30°，∠BMN=60°
直角三角形BMN中，BM=2，∠BMN=60°，
因此MN=1，BN=．
∴ON=OM-MN=1
因此B的坐標是（-1，）．

（3）由于OM=2，
因此M的坐標是（-2，0）．
設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x+2），
由于拋物線過B（-1，）
可得：a（1-4）=，a=-
因此拋物線的解析式為y=-x²+．

（4）可分三種情況：
①當∠ABC=90°時，C在直線BM上，
直角三角形MCO中，∠CMO=60°，OM=2，
因此OC=2，即C點的坐標為（0，2）
②當∠BAC=90°時，那么∠OAC=90°-∠BAM=60°，直角三角形OAC中
OC=OA•tan60°=2，即C點的坐標為（0，-2）
③當∠BCA=90°時，設C點坐標為（0，y），則
AC²=4+y²，BC²=（-y）²+1，AB²=3+9=12，
根據勾股定理可得：BC²+AC²=AB²
4+y²+（-y）²+1=12，
解得y=，
綜上所述，C點的坐標應該是（0，±2）和（0，）．
點評：本題結合圓，三角形的知識考查了二次函數的綜合應用，結合幾何知識，利用數形結合的思想求解是這類題的基本思路．要注意（4）中要分情況進行討論，不要漏解．