Question

【題目】已知△ABC中，BE平分∠ABC，點P在射線BE上．

（1）如圖1，若∠ABC＝40°，CP∥AB，求∠BPC的度數；

（2）如圖2，若∠BAC＝100°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的度數；

（3）若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，直線CP與△ABC的一條邊垂直，畫出相應圖形并求∠BPC的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠BPC＝20°；（2）∠BPC=100°；（3）畫出相應圖形見解析；∠BPC的度數為70°或40°或110°．

【解析】

（1）根據角平分線的定義與平行線的性質，即可求解；

（2）根據三角形內角和定理，可得∠A＝∠BPC，進而即可求解；

（3）分3種情況：①當CP⊥BC時，②當CP⊥AC時， ③當CP⊥AB時，分別畫出圖形，即可求解．

（1）∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，

∴∠ABP＝＝20°，

∵CP∥AB，

∴∠BPC＝∠ABP＝20°；

（2）∵BE平分∠ABC，∠PBC＝∠PCA

∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCA

△ABO中，∠A+∠ABP+∠AOB＝180°，

△PCO中，∠BPC+∠PCA+∠POC＝180°，

∵∠ABP=∠PCA, ∠AOB=∠POC

∴∠A＝∠BPC =100°

即∠BPC=100°；

（3）①當CP⊥BC時，如圖3，則∠BCP＝90°，

∵∠PBC＝20°，

∴∠BPC＝70°；

②當CP⊥AC時，如圖4，則∠ACP＝90°，

△BCP中，∠BPC＝180°﹣20°﹣30°﹣90°＝40°；

③當CP⊥AB時，延長CP交直線AB于G，如圖5，則∠BGC＝90°，

∵∠ABC＝40°，

∴∠BCG＝50°

△BPC中，∠BPC＝180°﹣50°﹣20°＝110°；

綜上，∠BPC的度數為70°或40°或110°．