Question

【題目】已知：等腰△ABC中，AB=AC，點D是直線AC上一動點，點E在BD的延長線上，且AB=AE，∠CAE的角平分線所在的直線交BE于F，連結CF．

（1）如圖1，當點D在線段AC上時，求證：∠ABE=∠ACF；
（2）如圖2，當∠ABC=60°且點D在線段AC上時，求證：AF+EF=FB．（提示：將線段FB拆分成兩部分）
（3）①如圖3，當∠ABC=45°其點D在線段AC上時，線段AF、EF、FB仍有（2）中的結論嗎？若有，加以證明；若沒有，則有怎樣的數量關系，直接寫出答案即可．
②如圖4，當∠ABC=45°且點D在CA的延長線時，請你按題意將圖形補充完成．并直接寫出線段AF、EF、FB的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵AF平分∠CAE，

∴∠EAF=∠CAF，

∵AB=AC，AB=AE，

∴AE=AC，

在△ACF和△AEF中，

，

∴△ACF≌△AEF（SAS），

∴∠E=∠ACF，

∵AB=AE，

∴∠E=∠ABE，

∴∠ABE=∠ACF

（2）證明：在FB上截取BM=CF，連接AM，如圖2，

∵△ACF≌△AEF，

∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，

在△ABM和△ACF中，

，

∴△ABM≌△ACF（SAS），

∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，

∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，

∵AM=AF，

∴△AMF為等邊三角形，

∴AF=AM=MF，

∴AF+EF=BM+MF=FB，

即AF+EF=FB

（3）證明：①線段AF、EF、FB不是（2）中的結論，線段AF、EF、FB的數量關系為 AF+EF=FB，理由如下：

在FB上截取BM=CF，連接AM，如圖3，

∵△ACF≌△AEF，

∴EF=CF=BM，∠E=∠ACF=∠ABM，

在△ABM和△ACF中，

，

∴△ABM≌△ACF（SAS），

∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，

∵AB=AC，∠ABC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=90°，

∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=90°，

∵AM=AF，

∴△AMF為等腰直角三角形，

∴MF= AF，

∴FB=BM+MF=EF+ AF，

即 AF+EF=FB；

②如圖4，在CF上截取CG=BF，連接AG，

在△AFE和△AFC中，

，

∴△AFE≌△AFC（SAS），

∴FE=FC，∠FEA=∠FCA，

∵AB=AE，

∴∠ABF=∠AEF=∠ACF，

在△ABF和△ACG中，

，

∴△ABF≌△ACG（SAS），

∴AG=AF，∠FAB=∠GAC，

∵AB=AC，∠ABC=45°，

∴∠BAC=90°，

∴FAG=90°，

∴△AFG是等腰直角三角形，

∴FG= AF，

∵CF=CG+GF，

∴CF=BF+ AF，

∴EF=BF+ AF

【解析】（1）證△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根據等腰三角形性質推出∠E=∠ABE，即可得出答案；（2）在FB上截取BM=CF，連接AM，證△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等邊三角形，推出MF=AF，即可得出答案；（3）①在FB上截取BM=CF，連接AM，證△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等腰直角三角形，推出MF= AF，即可得出答案；
②只需在CF上截取CG=BF，先證△AFE≌△AFC，得出CF=EF，再證△ABF≌△ACG，得出△AFG是等腰直角三角形，然后結論顯然．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)．