Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+2ax+c（a≠0）與x軸交于點A，B（1，0）兩點，與y軸交于點C，且OA＝OC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D是拋物線頂點，求△ACD的面積；

（3）如圖2，射線AE交拋物線于點E，交y軸的負半軸于點F（點F在線段AE上），點P是直線AE下方拋物線上的一點，S△ABE＝，求△APE面積的最大值和此動點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）3；（3）P的坐標為（﹣，﹣）

【解析】

（1）先求出點C的坐標，再根據待定系數法即可得出答案；

（2）根據（1）中求出的函數解析式得出點A、C和D的坐標，再利用割補法即可得出答案；

（3）設點E的縱坐標為t，根據△ABE的面積求出t的值，再代入函數解析式即可得出點E的坐標，將A和E的坐標代入即可得出直線AE的解析式，接著根據S△APE＝S△APG+S△PEG求出面積的函數關系式，再化為頂點式即可得出答案．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+2ax+c（a≠0）與x軸交于點A，B（1，0）兩點，與y軸交于點C，且OA＝OC，

∴a+2a+c＝0，點C的坐標為（0，c），

∴點A的坐標為（c，0），

∴ac2+2ac+c＝0，

∴，

解得，或，

∵函數圖象開口向上，

∴a＞0，

∴a＝1，c＝﹣3，

∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，拋物線與與y軸交于點C，頂點為D，OA＝OC，拋物線y＝ax2+2ax+c（a≠0）與x軸交于點A，B（1，0）兩點，

∴點D的坐標為（﹣1，﹣4），點C的坐標為（0，﹣3），點A的坐標為（﹣3，0），

連接OD，如右圖1所示，

由圖可知：

S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC

＝

＝3；

（3）∵A（﹣3，0），點B（1，0），

∴AB＝4，

設點E的縱坐標為t，t＜0，

∵S△ABE＝，

∴，得t＝，

把y＝代入y＝x2+2x﹣3，得

＝x2+2x﹣3，

解得，x1＝，x2＝，

∵點E在y軸的右側，

∴點E（，），

設直線AE的解析式為y＝mx+n（m≠0），

∴，得，

∴直線AE的解析式為y＝x﹣1，

過點P作y軸的平行線交AC于點G，如圖2所示，

設點P的橫坐標為x，則P（x，x2+2x﹣3），點G（x，x﹣1），

∴PG＝（x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，

又∵A（﹣3，0），E（，），

∴S△APE＝S△APG+S△PEG

＝

＝

＝，

∴當x＝﹣時，S△APE取得最大值，最大值是，

把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得

y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，

∴此時點P的坐標為（﹣，﹣）．