Question

【題目】如圖，是的外接圓，點在邊上，的平分線交于點，連接，，過點作與的延長線相交于點．

（1）求證：是的切線；

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由直徑所對的圓周角為直角得到∠BAC為直角，再由AD為角平分線，得到一對角相等，根據同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出∠DOC為直角，與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到OD與PD垂直，即可得證；
（2）由PD與BC平行，得到一對同位角相等，再由同弧所對的圓周角相等及等量代換得到∠P=∠ACD，根據同角的補角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；

（1）∵圓心O在BC上，
∴BC是圓O的直徑，
∴∠BAC=90°，
連接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD為圓O的半徑，
∴PD是圓O的切線；
（2）∵PD∥BC，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
∴△PBD∽△DCA．

（相似三角形的對應邊成比例）

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