Question

已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C．

（1）如圖①，若AB=2，∠P=30°，求AP的長（結果保留根號）；
（2）如圖②，若D為AP的中點，求證直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

（1） （2）證明OC⊥CD，得直線CD是⊙O的切線

試題分析：（1）AP是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，；在中由三角函數的定義得，又因為AB=2，∠P=30°，所以
（2）連接OC、OD，如圖所示

由題知OB=OC，；AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C，；AB是⊙O的直徑，O是AB的中點，若D為AP的中點，所以OD是的中位線，則OD//BP，，所以；AP是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，，所以，，則，因此OC⊥CD，所以直線CD是⊙O的切線
點評：本題考查三角函數、直線與圓相切，要求考生掌握三角函數的定義，并利用它的定義來解題；掌握直線與圓的性質，會判定直線與圓相切