Question

（2013•河西區二模）有下列結論：
①對于兩個實數x和y，若x²+3x-9=0，y²+3y-9=0，則x=y；
②對于兩個實數x和y，若x+y=1，則x²+y²的最小值為

1

2

；
③對于兩個給定的實數x和y，若使（x-m）²+（y-m）²達到最小，則m=

x+y

2

．
其中正確的有（　　）個．

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①由于x²+3x-9=0，y²+3y-9=0，則x、y是一元二次方程z²+3z-9=0的兩個根，計算判別式△的值，即可判斷；
②由x+y=1，用含y的代數式表示x，再代入x²+y²，然后利用二次函數的性質，即可判斷；
③將（x-m）²+（y-m）²變形為2（m-

x+y

2

）²+（x²+y²）-

1

2

（x+y）²，然后利用二次函數的性質，即可判斷．

解答：解：①∵x²+3x-9=0，y²+3y-9=0，
∴x、y是一元二次方程z²+3z-9=0的兩個根，
∵△=9-4×1×（-9）=45＞0，
∴方程z²+3z-9=0有兩個不相等的實數根，
∴x與y可能不相等；
②∵x+y=1，∴x=1-y，∴x²+y²=（1-y）²+y²=2（y-

1

2

）²+

1

2

，
∴當y=

1

2

時，x²+y²有最小值為

1

2

；
③∵（x-m）²+（y-m）²=2m²-2m（x+y）+x²+y²=2（m-

x+y

2

）²+（x²+y²）-

1

2

（x+y）²；
∴當m=

x+y

2

時，（x-m）²+（y-m）²有最小值

1

2

（x+y）²；
所以正確的結論是②③，
故選C．

點評：本題考查了一元二次方程，配方法的應用及二次函數的性質，有一定難度，正確配方是關鍵．