Question

【題目】觀察下列解題過程：

計算：1+5+52+53+…+524+525的值．

解：設S=1+5+52+53+…+524+525，（1）

則5S=5+52+53+…+525+526（2）

（2）﹣（1），得4S=526﹣1

S=

通過閱讀，你一定學會了一種解決問題的方法，請用你學到的方法計算：

（1）1+3+32+33+…+39+310

（2）1+x+x2+x3+…+x99+x100．

Answer 1

【答案】（1）S=；（2）S=．

【解析】

試題分析：這道題是求等比數列前n項的和：

（1）設S=1+3+32+33+…+39+310，等號兩邊都乘以3可解決；

（2）需要分類討論：Ⅰ當x=1時，易得結果；Ⅱ當x≠1時，設S=1+x+x2+x3+…+x99+x100等號兩邊都乘以x可解決．

解：（1）設S=1+3+32+33+…+39+310①

則3S=3+32+33+…+39+310+311②

②﹣①得2S=311﹣1，

所以S=；

（2）由于x為未知數，故需要分類討論：

Ⅰ當x=1時，1+x+x2+x3+…+x99+x100=1+1+12+…+199+1100=101；

Ⅱ當x≠1時，設S=1+x+x2+x3+…+x99+x100①

則xS=x+x2+x3+…+x99+x100+x101②

②﹣①得（x﹣1）S=x101﹣1，

所以S=．