Question

【題目】如圖1，A，B分別在射線OA，ON上，且∠MON為鈍角，現以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點C，D，E分別是OA，OB，AB的中點．

（1）求證：△PCE≌△EDQ；
（2）延長PC，QD交于點R．如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

（3）如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點C、D、E分別是OA，OB，AB的中點，

∴DE=OC，∥OC，CE=OD，CE∥OD，

∴四邊形ODEC是平行四邊形，

∴∠OCE=∠ODE，

∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，

∴∠PCO=∠QDO=90°，

∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ，

∵PC= AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ，

在△PCE與△EDQ中，

，

∴△PCE≌△EDQ；

（2）解：如圖2，連接RO，

∵PR與QR分別是OA，OB的垂直平分線，

∴AP=OR=RB，

∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，

∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，

∴∠CRD=30°，

∴∠ARB=60°，

∴△ARB是等邊三角形；

（3）解：如圖3中，

由（1）得，EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，

∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°，

∴△PEQ是等腰直角三角形，

∵△ARB∽△PEQ，

∴∠ARB=∠PEQ=90°，

∴∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD= ∠ARB=45°，

∴∠MON=180°﹣∠CRD=135°．

【解析】（1）此小題關鍵是根據三角形的中位線的性質得到得出四邊形ODEC是平行四邊形，于是得到∠OCE=∠ODE，根據等腰直角三角形得到∠PCO=∠QDO=90°，PC=ED，CE=DQ，即可得到結論；
（2）連接RO，由垂直平分線的性質，得到AP=OR=RB，再由等腰三角形的性質得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，在四邊形CRDO中得到∠CRD=30°，即可得到結論；
（3）由（1）得EQ=EP，∠DEQ=∠CPE，推出∠PEQ=∠ACR=90°，證得△PEQ是等腰直角三角形，根據相似三角形的性質得到∠ARB=∠PEQ=90°，從而求得∠MON的度數.
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質和相似三角形的判定與性質，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．