Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）證明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據已知及正方形的性質，利用ASA即可判定△ABE≌△DAF；
（2）根據正方形的性質及直角三角形的性質可得到DF的長，根據勾股定理可求得AF的長，從而就不難求得EF的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△ABE≌△DAF．

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∠AGB=30°，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠AGB=30°，
∵∠1+∠4=∠DAB=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AFD=180°-（∠1+∠3）=90°，
∴DF⊥AG，
∴DF=

1

2

AD=1，
∴AF=

3

，
∵△ABE≌△DAF，
∴AE=DF=1，
∴EF=

3

-1．
故所求EF的長為

3

-1．

點評：此題主要考查學生對正方形的性質及全等三角形的判定的綜合運用．