Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點

（1）求證：△ABM≌△DCM
（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論；
（3）當AD：AB=       _時，四邊形MENF是正方形（只寫結論，不需證明）

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC。
又∵MA＝MD，∴△ABM≌△DCM（SAS）。
（2）四邊形MENF是菱形。證明如下：
∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM。
∴NE=FM，NE∥FM。∴四邊形MENF是平行四邊形。
∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM。
∵E、F分別是BM、CM的中點，∴ME=MF。
∴平行四邊形MENF是菱形。
（3）2：1

試題分析：（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根據全等三角形的判定定理推出即可。
（2）根據三角形中位線定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四邊形，求出BM=CM，推出ME=MF，根據菱形的判定推出即可。
（3）當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形，理由如下：
∵M為AD中點，∴AD=2AM。
∵AD：AB=2：1，∴AM=AB。
∵∠A=90°，∴∠ABM=∠AMB=45°。
同理∠DMC=45°。
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°。
∵四邊形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形。