Question

如圖，三個等圓兩兩外切于點A﹑B﹑C，在圓弧AB﹑BC﹑CA所圍成的曲線區域內任取一點P，邊接PA﹑PB﹑PC，試問:以PA﹑PB﹑PC為邊長能否組成一個銳角三角形? 證明你的結論。

Answer 1

解：以PA、PB、PC為邊長能組成一個銳角三角形，   證明如下： 連接O1O2、O1O3、O2O3，AB、BC、AC，   易證△O1O2O3，△ABC都是正三角形    把△APB繞點A旋轉60°至△ACPˊ，得△APPˊ是正三角形 PˊC=PB ，PA=P Pˊ    ∴△PPˊC就是以PA、PB、PC的邊長組成的三角形   記∠APB=α，∠BPC=β，∠APC=γ    ∵P在正三角形ABC的內部    ∴α＞60°，β＞60°，γ＞60°   又∵P在弧AB的外部，弧AB所含的圓周角為150°    ∴α＜150°，同理β＜150°，γ＜150°     ∵∠PPˊC=∠A PˊC-60°=α-60°，   ∠C PPˊ=∠CPA-60°=γ-60°     ∴∠PˊCP=180°-（α-60°）-（γ-60°）=300°-（α+γ）=β-60°，     ∵60°＜α，β，γ＜150°     ∴0°＜α-60°，β-60°，γ-60°＜90°     ∴△PPˊC為銳角三角形