Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），現同時將點A，B，分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A、B的對應點C、D，連接AC，BD，CD，得平行四邊形ABDC．

（1）直接寫出點C，D的坐標；

（2）若在直線CD上存在點M，連接MA，MB，使S△MAB＝2S△MBD，求出點M的坐標；

（3）若點P在直線BD上運動，連接PC，PO，請畫出圖形，寫出∠CPO，∠DCP，∠BOP的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，2），D（4，2）；（2）M（2，2）或（6，2）；（3）①當點P在BD上，∠CPO＝∠DCP+∠BOP，見解析；②當點P在線段BD的延長線上時，∠CPO＝∠BOP﹣∠DCP，見解析；③當點P在線段DB的延長線上時，∠CPO＝∠DCP﹣∠BOP，見解析.

【解析】

（1）根據向上平移縱坐標加，向右平移橫坐標加求出點C、D的坐標即可，

（2）先求出S△MAB＝4，進而判斷出SABCD＝2S△MAB＝2S△BCD，進而判斷出S△MBD＝2，再分兩種情況即可得出結論；

（3）分三種情況，根據平移的性質可得AB∥CD，再過點P作PE∥AB，根據平行公理可得PE∥CD，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE即可得出結論．

解：（1）∵將A（﹣1，0），B（3，0）分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，

∴C（0，2），D（4，2）；

（2）∵AB＝4，CO＝2，

∴S△MAB＝AB×OC＝4，

∵SABCD＝AB×OC＝8＝2S△MAB＝2S△BCD，

∵S△MAB＝2S△MBD，

∴S△MBD＝2，

當點M在邊CD上時，

∴點M是CD的中點，

∴M（2，2），

當點M在CD的延長線上時，

利用對稱性得，M'（6，2），

∴M（2，2）或（6，2）；

（3）①當點P在BD上，如圖1，

由平移的性質得，AB∥CD，

過點P作PE∥AB，則PE∥CD，

∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，

∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，

②當點P在線段BD的延長線上時，如圖2，

由平移的性質得，AB∥CD，

過點P作PE∥AB，則PE∥CD，

∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，

∴∠CPO＝∠OPE﹣∠CPE＝∠BOP﹣∠DCP，

③當點P在線段DB的延長線上時，如圖3，

同（2）的方法得出∠CPO＝∠DCP﹣∠BOP．