Question

（本題滿分12分）如圖，過A（8，0）、B（0，）兩點的直線與直線交于點C．平行于軸的直線從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿軸向右平移，到C點時停止；分別交線段BC、OC于點D、E，以DE為邊向左側作等邊△DEF，設△DEF與△BCO重疊部分的面積為S（平方單位），直線的運動時間為t（秒）．
（1）直接寫出C點坐標和t的取值范圍；  
（2）求S與t的函數關系式；
（3）設直線與軸交于點P，是否存在這樣的點P，使得以P、O、F為頂點的三角形為等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）C（4，）
的取值范圍是：0≤≤4 
（2）∵D點的坐標是（，），E的坐標是（，）
∴DE=-=    ……………………4分
∴等邊△DEF的DE邊上的高為： 
∴當點F在BO邊上時：=，∴="3 " ……………………5分
① 當0≤<3時，重疊部分為等腰梯形，可求梯形上底為：- …7分
S= 
② 當3≤≤4時，重疊部分為等邊三角形
S= 
（3）存在，P（，0） 

(本題12 分)解（1）C（4，） ……………………………2分
的取值范圍是：0≤≤4 ……………………………… 3分
（2）∵D點的坐標是（，），E的坐標是（，）
∴DE=-=    ……………………4分
∴等邊△DEF的DE邊上的高為： 
∴當點F在BO邊上時：=，∴="3 " ……………………5分

③ 當0≤<3時，重疊部分為等腰梯形，可求梯形上底為：- …7分
S=
=
= ………………………………8分
④ 當3≤≤4時，重疊部分為等邊三角形
S= …………………  9分
= ……………………10分
（3）存在，P（，0） ……………………12分
說明：∵FO≥，FP≥，OP≤4
∴以P，O，F以頂點的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,
若FO=FP時，=2（12-3），=，∴P（，0）