Question

某公司開發了一種新型的家電產品，又適逢“家電下鄉”的優惠政策．現投資40萬元用于該產品的廣告促銷，已知該產品的本地銷售量y₁（萬臺）與本地的廣告費用x（萬元）之間的函數關系滿足，該產品的外地銷售量y₂（萬臺）與外地廣告費用t（萬元）之間的函數關系可用如圖所示的拋物線和線段AB來表示，其中點A為拋物線的頂點．

（1）結合圖象，寫出y₂（萬臺）與外地廣告費用t（萬元）之間的函數關系式；
（2）求該產品的銷售總量y（萬臺）與外地廣告費用t（萬元）之間的函數關系式；
（3）如何安排廣告費用才能使銷售總量最大？

Answer 1

（1）當0≤t≤25時，y₂=-0.1（t-25）²+122.5；當25≤t≤40時，y₂=122.5；（2）0≤x≤15時，y=3x+122.5；15≤x≤25時，y=-0.1x²+6x+100；25≤x≤40時，y=-0.1x²+5x+125；（3）外地廣告費用為25萬元，本地廣告費用15萬元．

試題分析：（1）此函數為分段函數，第一段為拋物線，可設出頂點坐標式，代入（0，60）即可求解；第二段為常函數，直接可以寫出．
（2）由于總投資為40萬元，本地廣告費用為t萬元，則外地廣告費用為（40-x）萬元，分段列出函數關系式．
（3）由（2）求得的函數關系式求得銷售總量最大時廣告費用的安排情況．
試題解析：（1）由函數圖象可知，
當0≤t≤25時，函數圖象為拋物線的一部分，
設解析式為y=a（t-25）²+122.5，
把（0，60）代入解析式得，
y₂=-0.1（t-25）²+122.5；
當25≤t≤40時，y₂=122.5；
（2）設本地廣告費用為x萬元，則
0≤x≤15時，y=3x+122.5；
15≤x≤25時，y=-0.1x²+6x+100；
25≤x≤40時，y=-0.1x²+5x+125．
（3）外地廣告費用為25萬元，本地廣告費用15萬元．
考點: 二次函數的應用．