Question

平面直角坐標第xoy中，A點的坐標為（0，5）．B、C分別是x軸、y軸上的兩個動點，C從A出發，沿y軸負半軸方向以1個單位/秒的速度向點O運動，點B從O出發，沿x軸正半軸方向以1個單位/秒的速度運動．設運動時間為t秒，點D是線段OB上一點，且BD=OC．點E是第一象限內一點，且AEDB．
（1）當t=4秒時，求過E、D、B三點的拋物線解析式．
（2）當0＜t＜5時，（如圖甲），∠ECB的大小是否隨著C、B的變化而變化？如果不變，求出它的大小．
（3）求證：∠APC=45°
（4）當t＞5時，（如圖乙）∠APC的大小還是45°嗎？請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）∠ECB的大小不變．90°；（3）證明見解析；（4）∠APC＞45°．

試題分析：（1）當t=4時，知AC=OB=4，進而知OC=1，由BD=OC,AE∥DB，AE=BD可求AE=DB=OC=1,點E、點D、點B的坐標即可確定。再設出拋物線的解析式y=ax²+bx+c，將三點坐標代入即可求出a、b、c的值；
（2）連接CE，可證∠ECB=90°;
（3）由（2）可知：△ECB是等腰直角三角形，繼而可證四邊形ADBE是平行四邊形，從而∠APC=∠EBC=45°；
（4）如圖，在第二象限取點F，作AF∥BD，AF=BD，連接CF、BF．易得Rt△ACF≌Rt△OBC，再證△BCF是等腰直角三角形，由三角形的一個外角大于與它不相鄰的內角知∠APC＞45°．
（1）當t=4秒時，AC=OB=4，由A（0，5）得C（0，1），即OC=1．
又BD=OC，AE DB，
∴AE=DB=OC=1．
∴E（1，5）B（4，0），D（3，0）．
設過E、D、B三點的拋物線解析式為y="ax2+bx+c" ，則有
,解得：；
∴拋物線解析式為；
（2）（2）∠ECB的大小不變。
連接CE。易得Rt△ACE≌Rt△OBC（SAS）
∴CE=CB，∠ACE=∠OBC，∠AEC=∠OCB．
又∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠OCB=90°
，∴∠ECB=90°．
（3）由（2）知，CE=CB，∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形．
∴∠EBC=45°，
又AEDB，
∴四邊形ADBE是平行四邊形．
∴AB∥EB．
∴∠APC=∠EBC=45°．
（4）當t＞5時，∠APC＞45°，理由如下：
如圖，在第二象限取點F，作AFBD，連接CF、BF．

易得Rt△ACF≌Rt△OBC（SAS）
∴CF=CB，∠1=∠2．
又∠1+∠3=90°。∴∠2+∠3=90°即△BCF是等腰直角三角形．
∴∠CBF=45°，又∠APC＞∠CBF，
∴∠APC＞45°．