Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B（A點在B點的左側）與y軸交于點C．
（1）如圖1，連接AC、BC，若△ABC的面積為3時，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P為第四象限拋物線上一點且在直線BC下方，連接PC，若∠BCP=2∠ABC時，求點P的橫坐標；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在AP上，過點P作PH⊥x軸于H點，點K在PH的延長線上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4 a，連接KB并延長交拋物線于點Q，求PQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：當y=0時，ax2﹣5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，則A（1，0），B（4，0），

∴AB=3，

∵△ABC的面積為3，

∴ 3OC=3，解得OC=2，則C（0，﹣2），

把C（0，﹣2）代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2；

（2）解：過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設P（x，ax2﹣5ax+4a），則PD=4a﹣（ax2﹣5ax+4a）=﹣ax2+5ax，

∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵∠BCP=2∠ABC，

∴∠PCD=∠ABC，

∴Rt△PCD∽Rt△CBO，

∴PD：OC=CD：OB，

即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，

∴點P的橫坐標為6；

（3）解：過點F作FG⊥PK于點G，如圖3，

∵AK=FK，

∴∠KAF=∠KFA，

而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，

∵∠KAH=∠FKP，

∴∠HAP=∠KPA，

∴HA=HP，

∴△AHP為等腰直角三角形，

∵P（6，10a），

∴﹣10a=6﹣1，解得a=﹣ ，

在Rt△PFG中，∵PF=﹣4 a=2 ，∠FPG=45°，

∴FG=PG= PF=2，

在△AKH和△KFG中

，

∴△AKH≌△KFG，

∴KH=FG=2，

∴K（6，2），

設直線KB的解析式為y=mx+n，

把K（6，2），B（4，0）代入得 ，

解得 ，

∴直線KB的解析式為y=x﹣4，

當a=﹣ 時，拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2，

解方程組 ，

解得 或 ，

∴Q（﹣1，﹣5），

而P（6，﹣5），

∴PQ∥x 軸，

∴QP=7．

【解析】（1）觀察函數解析式的特點，求出此函數圖像與x軸的交點A、B的坐標，注意：A點在B點的左側，用待定系數法就可以求出此函數解析式。
（2）根據已知添加輔助線，過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，易證得Rt△PCD∽Rt△CBO，得出對應邊成比例，抓住點P在第四象限，設點P的坐標，建立方程，求解即可求出點P的坐標。
（3）過點F作FG⊥PK于點G，先證∠HAP=∠KPA得到HA=HP，根據點P的坐標即可求出a的值，就可以證得△AHP為等腰直角三角形，再證明△AKH≌△KFG，得出KH=FG，即可得到點K的坐標，再求出直線KB的解析式，兩函數圖像交于點Q，因此由兩函數解析式聯立方程，求解即可求得Q點坐標，即可求得QP的值。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．