Question

【題目】如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AGAB=12，求AC的長；

（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）⊙O半徑為3，sin∠ACE=．

【解析】

試題分析：（1）根據圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出AC2=AGAB，求出AC即可；（3）先求出AF的長，根據勾股定理得：AG=，即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．

試題解析：（1）連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，∴∠PAC=∠ADC，∴∠CAD+∠PAC=90°，∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直徑，∴PA是⊙O的切線；

（2）由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC，∴，即=AGAB，∵AGAB=12，∴=12，∴AC=；

（3）設AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，∴AD=AF+FD=3x，在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴=AFAD，即=12，解得；x=2，∴AF=2，AD=6，∴⊙O半徑為3．

在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，根據勾股定理得：AG===，由（2）知，AGAB=12，∴AB==，連接BD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=，∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=．