Question

【題目】（1）一個(gè)兩位正整數(shù)，a表示十位上的數(shù)字，b表示個(gè)位上的數(shù)字（a≠b，ab≠0），則這個(gè)兩位數(shù)用多項(xiàng)式表示為　 　（含a、b的式子）；若把十位、個(gè)位上的數(shù)字互換位置得到一個(gè)新兩位數(shù)，則這兩個(gè)兩位數(shù)的和一定能被　 　整除，這兩個(gè)兩位數(shù)的差一定能被　 　整除.

（2）一個(gè)三位正整數(shù)F，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0．若從它的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字中任意選擇兩個(gè)數(shù)字組成6個(gè)不同的兩位數(shù)．若這6個(gè)兩位數(shù)的和等于這個(gè)三位數(shù)本身，則稱這樣的三位數(shù)F為“友好數(shù)”，例如：132是“友好數(shù)”.

一個(gè)三位正整數(shù)P，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0，若它的十位數(shù)字等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這樣的三位數(shù)P為“和平數(shù)”；

①直接判斷123是不是“友好數(shù)”？

②直接寫出共有　 　個(gè)“和平數(shù)”；

③通過列方程的方法求出既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”的數(shù)．

Answer 1

【答案】(1) 10a+b，11，9；(2) ①123不是“友好數(shù)”，理由見解析；②32；③既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”的數(shù)是396，264，132．

【解析】

（1）分別求出兩數(shù)的和與兩數(shù)的差即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)“友好數(shù)”的定義判斷即可；

②根據(jù)“和平數(shù)”的定義列舉出所有的“和平數(shù)”即可；

③設(shè)三位數(shù)既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”，根據(jù)“和平數(shù)”的定義，得出y＝x+z．再由“友好數(shù)”的定義，得出10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，化簡(jiǎn)即為12y＝78x﹣21z．把y＝x+z代入，整理得出z＝2x，然后從②的數(shù)字中挑選出符合要求的數(shù)即可.

(1)這個(gè)兩位數(shù)用多項(xiàng)式表示為10a+b，

（10a+b）+（10b+a）＝10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b），

∵11（a+b）÷11＝a+b（整數(shù)），

∴這個(gè)兩位數(shù)的和一定能被數(shù)11整除；

（10a+b）﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a＝9a﹣9b＝9（a﹣b），

∵9（a﹣b）÷9＝a﹣b（整數(shù)），

∴這兩個(gè)兩位數(shù)的差一定能被數(shù)9整除，

故答案為：11，9；

(2)①123不是“友好數(shù)”．理由如下：

∵12+21+13+31+23+32＝132≠123，

∴123不是“友好數(shù)”；

②十位數(shù)字是9的“和平數(shù)”有198，297，396，495，594，693，792，891，一個(gè)8個(gè)；

十位數(shù)字是8的“和平數(shù)”有187，286，385，584，682，781，一個(gè)6個(gè)；

十位數(shù)字是7的“和平數(shù)”有176，275，374，473，572，671，一個(gè)6個(gè)；

十位數(shù)字是6的“和平數(shù)”有165，264，462，561，一個(gè)4個(gè)；

十位數(shù)字是5的“和平數(shù)”有154，253，352，451，一個(gè)4個(gè)；

十位數(shù)字是4的“和平數(shù)”有143，341，一個(gè)2個(gè)；

十位數(shù)字是3的“和平數(shù)”有132，231，一個(gè)2個(gè)；

所以，“和平數(shù)”一共有8+（6+4+2）×2＝32個(gè)．

故答案為32；

③設(shè)三位數(shù)既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”，

∵三位數(shù)是“和平數(shù)”，

∴y＝x+z．

∵是“友好數(shù)”，

∴10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，

∴22x+22y+22z＝100x+10y+z，

∴12y＝78x﹣21z．

把y＝x+z代入，得12x+12z＝78x﹣21z，

∴33z＝66x，

∴z＝2x，

由②可知，既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”的數(shù)是396，264，132．