Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O，D分別為AB，BC的中點，連接OD，作⊙O與AC相切于點E，在AC邊上取一點F，使DF＝DO，連接DF．

（1）判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）當∠A＝30°，CF時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）結論：DF是⊙O的切線．理由見解析；（2）OE=1．

【解析】

（1）結論：DF是⊙O的切線．作OG⊥DF于G．連接OE．想辦法證明OG=OE即可解決問題；

（2）由FA，FD是⊙O的切線，推出FG=FE，設FG=FE=x，由△OGD≌△DCF（AAS），推出DG=CF=，推出OD=DF=+x，由AC=2OD，CE=OD，推出AE=EC=OD=+x，由∠A=30°，推出CD=OE=，在Rt△DCF中，根據DF2=CD2+CF2，構建方程即可解決問題；

（1）結論：DF是⊙O的切線．

理由：作OG⊥DF于G．連接OE．

∵BD=DC，BO=OA，

∴OD∥AC，

∴∠ODG=∠DFC，

∵∠OGD=∠DCF=90°，OD=DF，

∴△OGD≌△DCF（AAS），

∴OG=CD，

∵AC是⊙O的切線，

∴OE⊥AC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴OE∥BC，

∵OD∥CD，

∴四邊形CDOE是平行四邊形，

∴CD=OE，

∴OG=OE，

∴DF是⊙O的切線．

（2）∵FA，FD是⊙O的切線，

∴FG=FE，設FG=FE=x，

∵△OGD≌△DCF（AAS），

∴DG=CF=，

∴OD=DF=+x，

∵AC=2OD，CE=OD，

∴AE=EC=OD=+x，

∵∠A=30°，

∴CD=OE=，

在Rt△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，

∴（+x）2=（）2+（）2，

解得x=-或--（舍棄），

∴OE==1．