Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點M、N分別是線段BC、AB上的動點，點M從點B出發以每秒個單位的速度向點C運動，同時點N從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動，當點M、N中的一點到達終點時，兩點同時停止運動．過點M作MP⊥x軸于點E，交拋物線于點P．設點M、點N的運動時間為t（s），當t為多少時，△PNE是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0）；（2）y=x2﹣x﹣2；（3）當t=1時，△PNE是等腰三角形．

【解析】

（1）由C（0，﹣2）知OC=2，根據tan∠BCO==2得OB=4，據此得出點B坐標，再由OB=4OA可得點A坐標；

（2）將點A、B坐標代入拋物線解析式求得a、b的值，從而得出答案；

（3）由題意知AN=2t、BM=t，根據tan∠BME=tan∠BCO=2知=，求得OE=OB﹣BE=4﹣t，從而得出PE=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，再分點N在點E左側和右側兩種情況，表示出NE的長，利用NE=PE列方程求解可得答案．

（1）∵C（0，﹣2），

∴OC=2，

由tan∠BCO==2得OB=4，

則點B（4，0），

∵OB=4OA，

∴OA=1，

則A（﹣1，0）；

（2）將點A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，

得：，

解得：，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣2；

（3）設點M、點N的運動時間為t（s），則AN=2t、BM=t，

∵PE⊥x軸，

∴PE∥OC，

∴∠BME=∠BCO，

則tan∠BME=tan∠BCO，即=2，

∴=，即 =，

則BE=t，

∴OE=OB﹣BE=4﹣t，

∴PE=﹣[（4﹣t）2﹣（4﹣t）﹣2]=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，

①點N在點E左側時，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜ ，

此時NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，

∵△PNE是等腰三角形，

∴PE=NE，

即﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=5﹣3t，

整理，得：t2﹣11t+10=0，

解得：t=1或t=10＞（舍）；

②當點N在點E右側時，即﹣1+2t＞4﹣t，解得t＞，

又且2t≤5，

∴＜t≤ ，

此時NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣（4﹣t）=3t﹣5，

由PE=NE得﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=3t﹣5，

整理，得：t2+t﹣10=0，

解得：t=＜0，舍去；或t=＞，舍去；

綜上，當t=1時，△PNE是等腰三角形．