Question

【題目】已知：線段AB.

（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線l，與線段AB交于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的基礎上，點C為l上一個動點(點C不與點D重合)，連接CB，過點A作AE⊥BC，垂足為點E.

①當垂足E在線段BC上時，直接寫出∠ABC度數的取值范圍.

②若∠B=60，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①45°≤∠ABC＜90°②證明見解析

【解析】

（1）根據題意作圖即可；

（2）①連接AC．由CD是AB的垂直平分線，得到AC=BC，由等邊對等角得到∠CAB=∠ABC．由于AE⊥BC，得到∠AEB=90°，由三角形內角和定理得到∠EAB+∠ABC =90°，再由∠ABC =∠CAB≥∠EAB，得到∠ABC≥45°，顯然∠ABC＜90°，即可得出結論；

②連接AC．由CD是AB的垂直平分線，得到．然后通過證明△ABC是等邊三角形，即可得出結論．

（1）按要求作圖：

（2）①連接AC．

∵CD是AB的垂直平分線，∴AC=BC，∴∠CAB=∠ABC．

∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABC =90°．

∵∠ABC =∠CAB≥∠EAB，∴2∠ABC≥90°，∴∠ABC≥45°，顯然∠ABC＜90°，∴45°≤∠ABC＜90．

②連接AC．

∵CD是AB的垂直平分線，∴，AC=BC．

∵∠B=60，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AB，∴．