Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x﹣1交于A、B兩點．點A的橫坐標為﹣3，點B在y軸上，點P是y軸左側拋物線上的一動點，橫坐標為m，過點P作PC⊥x軸于C，交直線AB于D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當m為何值時，S四邊形OBDC=2S△BPD；

（3）是否存在點P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x﹣1；（2）m=﹣，﹣2或時S四邊形OBDC=2S△BPD；

（3）P（﹣2，﹣5）．

【解析】分析：（1）將x=0代入y=x-1求出B的坐標，將x=-3代入y=x-1求出A的坐標，由待定系數法就可以求出拋物線的解析式；

（2）由P點的橫坐標為m可以表示出P、D的坐標，由此表示出S四邊形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可．

（3）如圖2，當∠APD=90°時，設出P點的坐標，就可以表示出D的坐標，由△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如圖3，當∠PAD=90°時，作AE⊥x軸于E，根據比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解．

詳解：（1）∵y=x﹣1，

∴當x=0時，y=﹣1，

∴B（0，﹣1）．

當x=﹣3時，y=﹣4，

∴A（﹣3，﹣4）．

∵y=x2+bx+c與直線y=x﹣1交于A、B兩點，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為：y=x2+4x﹣1；

（2）∵P點橫坐標是m（m＜0），

∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）

如圖1①，作BE⊥PC于E，

∴BE=﹣m．

CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，

∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2，

∴，

解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣；

如圖1②，作BE⊥PC于E，

∴BE=﹣m．

PD= m2+4m- 1-m+1= m2+3m，

∴，

解得：m=0（舍去）或m=(正值舍去)，

∴m=﹣，﹣2或時S四邊形OBDC=2S△BPD；

（3））如圖2，

當∠APD=90°時，設P（m，m2+4m﹣1），則D（m，m﹣1），

∴AP=m+4，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，

∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．

在y=x﹣1中，當y=0時，x=1，

∴（1，0），

∴OF=1，

∴CF=1﹣m．AF=4．

∵PC⊥x軸，

∴∠PCF=90°，

∴∠PCF=∠APD，

∴CF∥AP，

∴△APD∽△FCD，，

∴，

解得：m=1(舍去)或m=﹣2，

∴P（﹣2，﹣5）

如圖3，當∠PAD=90°時，作AE⊥x軸于E，

∴∠AEF=90°．CE=﹣3﹣m，EF=4，AF=4，PD=1﹣m﹣（1﹣4m﹣m2）=3m+m2．

∵PC⊥x軸，

∴∠DCF=90°，

∴∠DCF=∠AEF，

∴AE∥CD．

∴，

∴AD=（﹣3﹣m）．

∵△PAD∽△FEA，

∴，

∴，

∴m=﹣2或m=﹣3

∴P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）與點A重合，舍去，

∴P（﹣2，﹣5）．