Question

【題目】如圖，點A，B，C表示某旅游景區三個纜車站的位置，線段AB，BC表示連接纜車站的鋼纜，已知A，B，C三點在同一鉛直平面內，它們的海拔高度AA′，BB′，CC′分別為110米，310米，710米，鋼纜AB的坡度i1＝1∶2，鋼纜BC的坡度i2＝1∶1，景區因改造纜車線路，需要從A到C直線架設一條鋼纜，那么鋼纜AC的長度是多少米？(注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)

【答案】鋼纜AC的長度為1 000米．

【解析】試題分析：過點A作AE⊥CC′于點E，交BB′于點F，過點B作BD⊥CC′于點D，分別求出AE、CE，利用勾股定理求解AC即可．

試題解析：過點A作AE⊥CC′于點E，交BB′于點F，過點B作BD⊥CC′于點D，

則△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四邊形AA′B′F，BB′C′D和BFED都是矩形，

∴BF=BB′-B′F=BB′-AA′=310-110=200，

CD=CC′-C′D=CC′-BB′=710-310=400，

∵i1=1：2，i2=1：1，

∴AF=2BF=400，BD=CD=400，

又∵EF=BD=400，DE=BF=200，

∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600，

∴在Rt△AEC中，AC=（米）．

答：鋼纜AC的長度是1000米．

考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題．

【題型】解答題
【結束】
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【題目】如圖①，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D，AB的延長線交直線CD于點E.

(1)求證：AC平分∠DAB；

(2)若AB＝4，B為OE的中點，CF⊥AB，垂足為點F，求CF的長；

(3)如圖②，連接OD交AC于點G，若，求sinE的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)CF＝；(3) sinE＝.

【解析】分析：（1）連接OC，由平行線的判定定理、性質以及三角形中的等角對等邊的原理即可求證。（2）由（1）中結論，利用特殊角的三角函數值可求出∠E=30和CF的長度。（3）連接OC，即可證得△OCG∽△DAG，△OCE∽△DAE，根據相似三角形的對應邊成比例，可得EO與AO的比例關系，又因為OC=OA，所以在RT△OCE中由三角函數的定義即可求解。

本題解析：(1)連接OC，如圖①.∵OC切半圓O于C，∴OC⊥DC，又AD⊥CD.∴OC∥AD.∴∠OCA＝∠DAC.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.

(2)在Rt△OCE中，∵OC＝OB＝OE，∴∠E＝30°.

∴在Rt△OCF中，CF＝OC·sin60°＝2×＝.

(3)連接OC，如圖②.∵CO∥AD，∴△CGO∽△AGD.∴＝＝.不妨設CO＝AO＝3k，則AD＝4k.又△COE∽△DAE，∴＝＝＝.∴EO＝9k.在Rt△COE中，sinE＝＝＝.