Question

（1）如圖①，一個無蓋的長方體盒子的棱長分別為BC=3cm、AB=4cm、AA₁=5cm，盒子的內部頂點C₁處有一只昆蟲甲，在盒子的內部頂點A處有一只昆蟲乙（盒壁的厚度忽略不計）．假設昆蟲甲在頂點C₁處靜止不動，請計算A處的昆蟲乙沿盒子內壁爬行到昆蟲甲C₁處的最短路程．并畫出其最短路徑，簡要說明畫法．
（2）如果（1）問中的長方體的棱長分別為AB=BC=6cm，AA₁=14cm，如圖②，假設昆蟲甲從盒內頂點C₁以1厘米/秒的速度在盒子的內部沿棱C₁C向下爬行，同時昆蟲乙從盒內頂點A以3厘米/秒的速度在盒壁的側面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲？

Answer 1

分析：（1）根據圖a，A→E₁→C₁，圖b，A→E₂→C₁，以及圖c，A→E₃→C₁，利用勾股定理分別求出，即可得出最短路徑，畫法根據△ABE₃∽△ACC₁，得出BE₃的長度，連接AE₃，E₃C₁即可．
（2）利用昆蟲是在側面上爬行，兩種爬行路線的最短路徑相等，利用勾股定理求出即可．

解答：解：根據長方形的對稱性，昆蟲乙從頂點A沿內壁爬行到昆蟲甲C₁處的最短路程有3種可能，
（1）如圖①中，圖a，A→E₁→C₁，
AE₁C₁=

92+32

=

90

cm，
圖b，A→E₂→C₁，
AE₂C₁=

42+82

=

80

cm，
圖c，A→E₃→C₁，
AE₃C₁=

72+52

=

74

cm，
∵AE₁C₁＞AE₂C₁＞AE₃C₁，
∴最短路程為

74

cm，
∴最短路徑為A→E₃→C₁，
畫法：由△ABE₃∽△ACC₁，
得出：

BE3

CC 1

=

AB

AC

，
∴

BE3

5

=

4

7

，
∴BE₃=2

6

7

cm，即取BE₃=2

6

7

cm，連接AE₃，E₃C₁即可．

（2）因為昆蟲是在側面上爬行，可以看出，下面兩圖的最短路徑相等，
設昆蟲甲從頂點C₁沿棱C₁C向頂點C爬行的同時，昆蟲乙從頂點A按路徑A→E→F，
爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，如圖1在Rt△ACF中，
（3x）²=12²+（14-x）²，
∵x＞0，解得：x=5．
答：昆蟲乙至少需要5秒鐘才能捕捉到昆蟲甲．

點評：此題主要考查了平面展開-最短路徑問題以及三角形的相似等知識，立體圖形中的最短距離，通常要轉換為平面圖形的兩點間的線段長來進行解決，最短路徑問題利用平面展開圖分別求出是解決問題的關鍵．