Question

（1）如圖，A、B、C是三個居住人口數量相同的住宅小區的大門所在位置，且A、B、C三點共線，已知AB=120米，BC=200米，E、F分別是AB、BC的中點，為了方便三個小區的居民出行，公交公司計劃在E點或F點設一公交停靠站點，為使從三個小區大門步行到公交停靠點的路程長之和最小，你認為公交車停靠點的位置應設在哪里，為什么？

（2）已知A、B、C三點在一條直線上，如果AB=a，BC=b，且a＜b，求線段AB和BC的中點E、F之間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據圖示，先分別計算一下從三個小區大門步行到公交停靠點E、F的路程長之和，然后比較一下大小，路程小的即為所求；
（2）根據題意，畫出圖示，根據圖示找出EF與AB、BC的數量關系，注意分類討論．

解答：解：（1）∵E、F分別是AB、BC的中點，AB=120米，BC=200米，
∴AE=BE=60米，BF=CF=100米；
當公交公司在E點設一公交停靠站點，則從三個小區大門步行到公交停靠點的路程長之和為：
AE+BE+CE，
=AB+BC+BE，
=120+200+60，
=380（米）；
當公交公司在F點設一公交停靠站點，則從三個小區大門步行到公交停靠點的路程長之和為：
AF+BF+CF，
=AB+BF+BC，
=120+100+200，
=420（米）；
∵380＜420，
∴公交車停靠點的位置應該是點E處；

（2）①根據題意，得，
∵E、F分別是AB、BC的中點，
∴EB=

1

2

AB，BF=

1

2

BC；
又∵EF=EB+BF，
∴EF=

1

2

（AB+BC）=

1

2

（a+b）；
②

此時FB=

1

2

b，EB=

1

2

a，
EF=FB-EB=

1

2

（b-a）．

點評：本題主要考查了兩點間的距離．解答本題是，采用了數形結合的數學思想，降低了題目的難度．