Question

【題目】（問題）
如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點(diǎn)C作直線l平行于AB．∠EDF=90°，點(diǎn)D在直線l上移動，角的一邊DE始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊DF與AC交于點(diǎn)P，研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系．

（探究發(fā)現(xiàn)）
（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D移動到使點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，通過推理就可以得到DP=DB，請寫出證明過程；
（數(shù)學(xué)思考）
（2）如圖3，若點(diǎn)P是AC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、C），受（1）的啟發(fā)，這個小組過點(diǎn)D作DG⊥CD交BC于點(diǎn)G，就可以證明DP=DB，請完成證明過程；
（拓展引申）
（3）如圖4，在（1）的條件下，M是AB邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），N是射線BD上一點(diǎn)，且AM=BN，連接MN與BC交于點(diǎn)Q，這個數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取M點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M在某一位置時(shí)BQ的值最大．若AC=BC=4，請你直接寫出BQ的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAB=∠CBA=45°，由平行線的性質(zhì)可得∠CBA=∠DCB=45°，即可證DB=DP；
【數(shù)學(xué)思考】
（2）通過證明△CDP≌△GDB，可得DP=DB
【拓展引申】
（3）過點(diǎn)M作MH⊥MN交AC于點(diǎn)H，通過證明△AMH≌△BNQ，可得AH=BQ，通過證明△ACM∽△BMQ，可得，可得BQ=+2，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求BQ的最大值．

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=45°
∵CD∥AB
∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD
∴∠DCB=∠DBC=45°
∴DB=DC
即DB=DP
【數(shù)學(xué)思考】
（2）∵DG⊥CD，∠DCB=45°
∴∠DCG=∠DGC=45°
∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，
∵∠BDP=∠CDG=90°
∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴DB=DP
【拓展引申】
（3）如圖4，過點(diǎn)M作MH⊥MN交AC于點(diǎn)H，連接CM，HQ，

∵MH⊥MN，
∴∠AMH+∠NMB=90°
∵CD∥AB，∠CDB=90°
∴∠DBM=90°
∴∠NMB+∠MNB=90°
∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°
∴△AMH≌△BNQ（ASA）
∴AH=BQ
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=4，AC-AH=BC-BQ
∴CH=CQ
∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB
∴HQ∥AB
∴∠HQM=∠QMB
∵∠ACB=∠HMQ=90°
∴點(diǎn)H，點(diǎn)M，點(diǎn)Q，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，
∴∠HCM=∠HQM
∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°
∴△ACM∽△BMQ
∴
∴
∴BQ=+2
∴AM=2時(shí)，BQ有最大值為2．