Question

（2012•南昌）如圖，已知二次函數L₁：y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C．
（1）寫出二次函數L₁的開口方向、對稱軸和頂點坐標；
（2）研究二次函數L₂：y=kx²-4kx+3k（k≠0）．
①寫出二次函數L₂與二次函數L₁有關圖象的兩條相同的性質；
②若直線y=8k與拋物線L₂交于E、F兩點，問線段EF的長度是否發生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=ax²+bx+c中：a的值決定了拋物線的開口方向，a＞0時，拋物線的開口向上；a＜0時，拋物線的開口向下．
拋物線的對稱軸方程：x=-

b

2a

；頂點坐標：（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．
（2）①新函數是由原函數的各項系數同時乘以k所得，因此從二次函數的圖象與解析式的系數的關系入手進行分析．
②聯系直線和拋物線L₂的解析式，先求出點E、F的坐標，進而可表示出EF的長，若該長度為定值，則線段EF的長不會發生變化．

解答：解：（1）拋物線y=x²-4x+3中，a=1、b=-4、c=3；
∴-

b

2a

=-

-4

2

=2，

4ac-b2

4a

=

4×3-16

4

=-1；
∴二次函數L₁的開口向上，對稱軸是直線x=2，頂點坐標（2，-1）．

（2）①二次函數L₂與L₁有關圖象的兩條相同的性質：
對稱軸為x=2，或頂點的橫坐標為2，
都經過A（1，0），B（3，0）兩點；
②線段EF的長度不會發生變化．
∵直線y=8k與拋物線L₂交于E、F兩點，
∴kx²-4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x²-4x+3=8，
解得：x₁=-1，x₂=5，∴EF=x₂-x₁=6，
∴線段EF的長度不會發生變化．

點評：該題主要考查的是函數的基礎知識，有：二次函數的性質、函數圖象交點坐標的解法等，難度不大，但需要熟練掌握．